一致连续性定理练习题-一致连续习题

设函数 ( f(x) ) 定义在区间 ( I ) 上。如果对于任意给定的正数 ( varepsilon > 0 )，都存在一个只依赖于 ( varepsilon ) 的正数 ( delta > 0 )，使得对于区间 ( I ) 上的任意两点 ( x_1, x_2 )，只要 ( |x_1 - x_2| < delta )，就有 ( |f(x_1) - f(x_2)| < varepsilon )，则称函数 ( f(x) ) 在区间 ( I ) 上一致连续。

这里的是“任意”和“只依赖于 ( varepsilon )”。与点连续性相比，点连续性的 ( delta ) 可以依赖于 ( varepsilon ) 和特定的点 ( x_0 )；而一致连续性的 ( delta ) 是一个适用于整个区间上所有点对的“统一标准”。这就像是一场考试，点连续性允许易搜职考网为每个考生（点）制定不同的及格线（δ），而一致连续性则要求所有考生执行统一的、公平的评分标准。

基于此，我们给出数学分析中最著名的定理之一：

一致连续性定理（康托尔定理）：若函数 ( f(x) ) 在闭区间 ([a, b]) 上连续，则 ( f(x) ) 在 ([a, b]) 上一致连续。

这个定理的条件是严格的：“闭区间”和“连续”两者缺一不可。其证明通常采用反证法或利用闭区间套定理、有限覆盖定理等实数完备性定理，这是理解实数系完备性重要性的经典范例。

• 误区一：开区间上的连续函数必一致连续。 这是最常见的错误。反例：( f(x) = frac{1}{x} ) 在开区间 ((0, 1)) 上连续但不一致连续。因为当 ( x ) 靠近0时，函数值变化剧烈，找不到统一的 ( delta )。
• 关键点二：一致连续性是一种整体性质。 函数在某个区间上不一致连续，并不意味着它在每个点都不连续，而是说其连续性在区间上“不均匀”。
  例如，( f(x) = sin(frac{1}{x}) ) 在 ((0, 1]) 上每点都连续（补充定义0点值后可考察在0点的连续性），但在 ((0, 1]) 上不一致连续。
• 关键点三：无穷区间上的情况。 一致连续性定理只保证闭区间上的结果。在无穷区间如 ([a, +infty)) 上，连续函数不一定一致连续。
  例如，( f(x) = x^2 ) 在 ([0, +infty)) 上连续但不一致连续。判断无穷区间上的一致连续性需要额外的条件，如导数有界或函数满足利普希茨条件。
• 关键点四：一致连续性的运算性质。 一致连续函数的和、差、积（需在有界区间上或函数本身有界）以及复合（在适当条件下）可能保持一致性，但商运算需要格外小心分母的情况。

证明（利用有限覆盖定理）：由于 ( f(x) ) 在 ([a, b]) 上连续，故对任意 ( varepsilon > 0 ) 及任意 ( x in [a, b] )，存在 ( delta_x > 0 )，使得当 ( y in U(x, delta_x) cap [a, b] ) 时，有 ( |f(y) - f(x)| < frac{varepsilon}{2} )。所有这样的邻域 ( U(x, frac{delta_x}{2}) ) 构成了闭区间 ([a, b]) 的一个开覆盖。由有限覆盖定理，存在有限个子覆盖，设其中心为 ( x_1, x_2, ..., x_n )，对应的半径为 ( frac{delta_1}{2}, frac{delta_2}{2}, ..., frac{delta_n}{2} )。取 ( delta = min{frac{delta_1}{2}, frac{delta_2}{2}, ..., frac{delta_n}{2}} > 0 )。现在，对 ([a, b]) 中任意满足 ( |x' - x''| < delta ) 的两点 ( x', x'' )，由于 ( x' ) 必属于某个 ( U(x_k, frac{delta_k}{2}) )，则 ( |x' - x_k| < frac{delta_k}{2} )。
于此同时呢，( |x'' - x_k| leq |x'' - x'| + |x' - x_k| < delta + frac{delta_k}{2} leq delta_k )。
也是因为这些，( x', x'' ) 都在 ( U(x_k, delta_k) ) 内，于是 ( |f(x') - f(x_k)| < frac{varepsilon}{2} )，( |f(x'') - f(x_k)| < frac{varepsilon}{2} )。最终，( |f(x') - f(x'')| leq |f(x') - f(x_k)| + |f(x'') - f(x_k)| < varepsilon )。证毕。

这个证明的精妙之处在于，它将无限个依赖于点的局部 ( delta_x ) 通过有限覆盖定理“打包”成了一个有限的集合，并从中选取了一个统一的、适用于全局的 ( delta )。这种从“无限”到“有限”的转化，深刻体现了紧致性的威力。在易搜职考网提供的备考指导中，我们强调，掌握这种证明思想，远比死记硬背证明步骤更重要。

这是最基础的训练，要求熟练运用 ( varepsilon-delta ) 语言。

• 练习1： 证明函数 ( f(x) = sqrt{x} ) 在区间 ([0, 1]) 上一致连续。

解析： 对任意 ( varepsilon > 0 )，我们需要找到 ( delta > 0 )。对于 ( x_1, x_2 in [0, 1] )，有 ( |sqrt{x_1} - sqrt{x_2}| = frac{|x_1 - x_2|}{sqrt{x_1} + sqrt{x_2}} )。当 ( x_1, x_2 ) 都大于某个正数时，分母有正下界，容易处理。难点在0点附近。可以采用分情况讨论或利用不等式 ( |sqrt{x_1} - sqrt{x_2}| le sqrt{|x_1 - x_2|} )。取 ( delta = varepsilon^2 )，则当 ( |x_1 - x_2| < delta ) 时，( |sqrt{x_1} - sqrt{x_2}| le sqrt{|x_1 - x_2|} < sqrt{varepsilon^2} = varepsilon )。注意，这里用到了一个更强的不等式，它帮助我们绕开了分母可能趋于0的困难。当然，直接应用一致连续性定理（因为 ( f(x) ) 在闭区间 ([0,1]) 上连续）即可得出结论，但练习定义证明是基本功。

• 练习2： 证明函数 ( f(x) = x^2 ) 在区间 ([0, +infty)) 上不一致连续。

解析： 按照定义否定。需找到某个 ( varepsilon_0 > 0 )，使得对任意的 ( delta > 0 )，总能在区间内找到两点 ( x_1, x_2 )，满足 ( |x_1 - x_2| < delta ) 但 ( |f(x_1) - f(x_2)| ge varepsilon_0 )。取 ( varepsilon_0 = 1 )。对任意 ( delta > 0 )，取正整数 ( N > frac{1}{delta} )，令 ( x_1 = N + frac{1}{N}, x_2 = N )。则 ( |x_1 - x_2| = frac{1}{N} < delta )，但 ( |f(x_1) - f(x_2)| = | (N+frac{1}{N})^2 - N^2 | = |2 + frac{1}{N^2}| > 2 > 1 = varepsilon_0 )。故不一致连续。此构造的关键是让两点距离 ( frac{1}{N} ) 随 ( N ) 增大而任意小，但同时让这两点本身趋于无穷，使得函数值的差保持大于1。

这类题目考察对定理条件的理解和灵活运用。

• 练习3： 判断下列函数在指定区间上是否一致连续，并说明理由。
  1. ( f(x) = frac{sin x}{x} ) 在 ( (0, 1] ) 上。
  2. ( g(x) = x sin(frac{1}{x}) ) 在 ( (0, 1] ) 上。
  3. ( h(x) = ln x ) 在 ( (0, 1) ) 上。

解析：

1. 不一致连续。虽然函数在 (0,1] 上连续，但当 ( x to 0^+ ) 时，函数趋于无穷（或说无界），不可能一致连续。可以考虑补充定义 ( f(0)=1 ) 使其在 [0,1] 上连续吗？可以，因为 ( lim_{x to 0^+} frac{sin x}{x} = 1 )。补充定义后，函数在闭区间 [0,1] 上连续，由一致连续性定理，它在 [0,1] 上一致连续，从而在其子区间 (0,1] 上也一致连续。所以，原函数在 (0,1] 上不一致连续，但补充0点定义后的新函数在 [0,1] 上一致连续。这是一个易错点。
2. 一致连续。可以补充定义 ( g(0)=0 )，则 ( g(x) ) 在 [0,1] 上连续（因为 ( |xsin(1/x)| le |x| to 0 )）。由一致连续性定理，补充定义后的函数在 [0,1] 上一致连续，故原函数在 (0,1] 上一致连续。
3. 不一致连续。因为当 ( x to 0^+ ) 时，( ln x to -infty )，函数无界且在0点附近变化剧烈。也可以通过定义反证：取 ( varepsilon_0 = 1 )，对任意 ( delta > 0 )，取 ( x_1 = min(e^{-2}, delta/2), x_2 = x_1/2 )，则 ( |x_1 - x_2| = x_1/2 < delta )，但 ( |ln x_1 - ln x_2| = |ln 2| > 1 )。

这类题目将一致连续性与函数极限、积分、微分中值定理等知识结合。

• 练习4： 设 ( f(x) ) 在 ( (a, +infty) ) 上一致连续，且 ( lim_{x to +infty} f(x) ) 存在（有限）。证明：( f(x) ) 在 ( [a, +infty) ) 上有界。

解析： 设 ( lim_{x to +infty} f(x) = A )。由极限定义，存在 ( X > a )，当 ( x > X ) 时，( |f(x) - A| < 1 )，即 ( |f(x)| < |A| + 1 )，说明 ( f(x) ) 在 ( (X, +infty) ) 上有界。现在考虑区间 ([a, X+1])。由于 ( f(x) ) 在 ( (a, +infty) ) 上一致连续，必然在闭区间 ([a, X+1]) 上连续（一致连续函数在子区间上当然连续）。由闭区间上连续函数的性质，( f(x) ) 在 ([a, X+1]) 上有界，即存在 ( M_1 > 0 )，使得对任意 ( x in [a, X+1] )，有 ( |f(x)| le M_1 )。综合两部分，取 ( M = max{M_1, |A|+1} )，则对任意 ( x in [a, +infty) )，都有 ( |f(x)| le M )。此题展示了一致连续性在沟通无穷区间与有限区间性质时的桥梁作用。

• 练习5： 设 ( f(x) ) 在 ( [0, +infty) ) 上一致连续，且对任意 ( x in [0,1] )，积分 ( int_0^{+infty} f(tx) dt ) 都收敛。证明：( lim_{x to +infty} f(x) = 0 )。

解析： 这是一个较难的题目。思路是利用反证法。假设 ( lim_{x to +infty} f(x) = 0 ) 不成立，则存在 ( varepsilon_0 > 0 ) 和一列趋于无穷的点 ( {x_n} )，使得 ( |f(x_n)| ge varepsilon_0 )。由一致连续性，存在 ( delta > 0 )，当 ( |u-v| < delta ) 时，( |f(u)-f(v)| < frac{varepsilon_0}{2} )。特别地，在每个长度为 ( delta ) 的区间 ( [x_n, x_n+delta] ) 上，函数值 ( f(t) ) 与 ( f(x_n) ) 的差小于 ( frac{varepsilon_0}{2} )，从而在該区间上 ( |f(t)| > frac{varepsilon_0}{2} )。现在考虑积分 ( int_0^{+infty} f(t cdot frac{1}{x_n}) dt )。作变量替换 ( u = t / x_n )，则积分变为 ( int_0^{+infty} f(u) cdot x_n du )。考虑区间 ( [x_n, x_n+delta] ) 对应到 ( u ) 的区间是 ( [1, 1+frac{delta}{x_n}] )，其长度随 ( n ) 增大而趋于0。但更巧妙的是考虑原积分形式。取 ( x = frac{1}{x_n} )，则积分 ( int_0^{+infty} f(frac{t}{x_n}) dt )。当 ( t in [x_n^2, x_n(x_n+delta)] = [x_n^2, x_n^2 + delta x_n] ) 时，有 ( frac{t}{x_n} in [x_n, x_n+delta] )，此时被积函数 ( |f(frac{t}{x_n})| > frac{varepsilon_0}{2} )。该积分区间长度是 ( delta x_n )，趋于无穷。
也是因为这些，积分 ( int_0^{+infty} |f(frac{t}{x_n})| dt ) 至少大于 ( frac{varepsilon_0}{2} cdot delta x_n to +infty )，这与积分收敛的假设矛盾。故假设不成立，必有 ( lim_{x to +infty} f(x) = 0 )。此题综合了一致连续性、极限、积分和反证法，难度较高，但能极大提升分析能力。

必须夯实基础。准确记忆定义，理解其与点连续性的本质区别。可以通过绘制图形，想象在函数图像上，一个宽度为 ( 2delta ) 的“竖直通道”是否能沿着整个区间平移而保证图像不穿出通道上下沿，来增强几何直观。

掌握核心定理的证明。不仅要会叙述，更要理解证明中每一步的意图，特别是如何利用闭区间的紧致性（有限覆盖定理或闭区间套定理）将局部性质提升为整体性质。这是实分析思想的精髓。

再次，进行分层练习。从直接用定义证明（如线性函数、根式函数）开始，再到判断给定函数在特定区间上的一致连续性（特别注意开区间、无穷区间、有无穷间断点或振荡间断点的情况），最后挑战与极限、积分、微分方程结合的综合应用题。易搜职考网的题库资源按照此梯度精心编排，有助于考生循序渐进。

学会归纳归结起来说。整理常见的“一致连续”和“非一致连续”的函数范例，归结起来说判断一致连续性的常用方法：

1. 定义法： 直接验证或否定。
2. 定理法： 闭区间上连续必一致连续。
3. 延拓法： 若函数在开区间端点存在有限极限，则可补充定义使其成为闭区间上的连续函数，从而原函数在开区间内一致连续。
4. 利普希茨条件法： 若存在常数 ( L>0 )，使 ( |f(x)-f(y)| le L|x-y| ) 对定义域内任意 ( x, y ) 成立，则一致连续。导数有界是利普希茨条件的充分条件。
5. 否定判断： 函数无界、或在区间端点（包括无穷远点）附近变化无限剧烈、或能找到满足 ( |x_n - y_n| to 0 ) 但 ( |f(x_n)-f(y_n)| ge varepsilon_0 > 0 ) 的两点列，均可证明不一致连续。

数学分析的学习是一场思维的马拉松，对一致连续性定理的深入理解和熟练运用，标志着你的分析学思维从静态、局部走向了动态、整体。
这不仅是应对考试的关键，更是在以后从事理论研究或高端应用开发的坚实基础。希望广大考生能通过持之以恒的练习和思考，真正领悟这一重要概念的奥妙，在易搜职考网的陪伴下，顺利抵达成功的彼岸。