勾股定理在折叠问题中的应用例题-折叠中的勾股定理

勾股定理，作为几何学中一颗璀璨的明珠，其揭示的直角三角形三边数量关系（即两直角边的平方和等于斜边的平方）早已超越了数学定理本身，成为连接代数与几何、理论与应用的一座坚实桥梁。在初中乃至高中数学体系中，它不仅是学习的重点，更是解决众多复杂几何问题的核心工具之一。当我们把目光聚焦于“折叠问题”这一特定情境时，勾股定理的价值便得到了淋漓尽致的展现。图形折叠，本质上是全等变换中的轴对称变换，折叠前后的图形关于折痕对称，这意味着对应线段相等、对应角相等、对应点的连线被折痕垂直平分。这一特性，使得在折叠后产生的新图形中，常常会构造出直角三角形，或者将已知的线段长度关系置于一个直角三角形框架内。此时，勾股定理便从幕后走向台前，成为建立方程、求解未知线段长度（如折痕长度、未重合线段长度等）的关键等式。这类问题综合性强，要求学生不仅深刻理解折叠的对称性质，能准确识别和构造直角三角形，还要具备熟练运用勾股定理建立方程模型的代数能力。
也是因为这些，掌握勾股定理在折叠问题中的应用，是提升学生空间想象能力、逻辑推理能力和数学建模能力的重要途径，也是在中考、高考等选拔性考试中取得优异成绩的必备技能。易搜职考网观察到，在历年各类考试的几何压轴题或中档题中，结合折叠背景考查勾股定理的题目出现频率极高，这充分说明了该知识点的重要性与实用性。我们将通过一系列由浅入深的典型例题，详细剖析勾股定理在此类问题中的灵活应用与解题策略。

在深入例题之前，我们必须牢固掌握图形折叠所依据的数学原理——轴对称变换的基本性质。这是解决所有折叠问题的基石。

• 全等性： 折叠前后的两部分图形全等。即对应边相等，对应角相等。
• 对称性： 折叠后重合的点是对称点，它们的连线被折痕所在的直线垂直平分。
• 折痕的角色： 折痕是对称轴，它是一条垂直平分对应点连线的直线。这个性质是后续构造直角三角形、利用勾股定理的关键。

基于这些性质，解决折叠问题的通用思路可以概括为：“设未知、找直角、列方程”。具体来说：设定所求线段或相关的线段长度为未知数（如x）；接着，利用折叠性质和已知条件，在图形中寻找或构造一个包含这个未知数的直角三角形；在这个直角三角形中，利用勾股定理列出关于x的方程并求解。易搜职考网提醒广大考生，准确识别和构造直角三角形是运用勾股定理的前提，而这往往需要结合折叠的对称点连线被折痕垂直平分这一核心性质。

矩形（包括正方形）是折叠问题最常见的载体，因为其直角特性便于直接产生直角三角形。

如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8。现将顶点A沿对角线BD折叠，使点A落在矩形内部的点F处，折痕为BE（E在AD上）。求DE的长度。

分析与解：

1. 明确折叠关系： 折叠后，点A与点F重合，折痕为BE。根据轴对称性质，有BA = BF = 6，EA = EF，且BE垂直平分线段AF（此结论虽重要，但本题不直接使用）。

2. 寻找直角三角形： 折叠后，点F在矩形内部。连接DF。由于矩形对边平行，∠ADB = ∠DBC。由折叠知∠ABE = ∠FBE，且∠ABD = ∠FBD。在Rt△ABD中，AB=6，AD=BC=8，由勾股定理可得BD = 10。

3. 设定未知并建立关系： 设DE = x，则由于AD=8，所以AE = AD - DE = 8 - x。由折叠性质，EF = AE = 8 - x。

4. 构造直角三角形并应用勾股定理： 观察△DEF，它是一个直角三角形吗？我们需要判断。通常，点A折叠到F，F常在BC边或其上方/内部。更直接的方法是考虑折叠带来的另一组等量：由折叠，△ABE ≌ △FBE，所以∠BFE = ∠A = 90°。
也是因为这些，∠DFE = 180° - ∠BFE = 90°。这样，△DEF是直角三角形（∠DFE=90°）。在Rt△DEF中，我们需要知道DF的长度。注意到BF=AB=6，BD=10，在Rt△BFD中？不，∠BFD不一定是直角。更好的方法是利用折叠前后的图形全等，考虑△ABD和△FBD。实际上，折叠后，△ABD ≌ △FBD？并不全等，是△ABE ≌ △FBE。求DE的经典方法是利用面积或三角函数，但最通用的是勾股定理。我们可以寻找包含DE的直角三角形。连接BF后，发现可以考察Rt△DCF（如果F在BC上）或利用△DEF。为了使用△DEF，必须知道DF。另一种思路：设DE=x，则AE=EF=8-x。由于AB=CD=6，考虑Rt△DCF，若设CF=y，则BF=BC-CF=8-y，但BF=AB=6，所以8-y=6，y=2。即CF=2。在Rt△DCF中，DF² = CD² + CF² = 6² + 2² = 40。现在，在Rt△DEF中（∠DFE=90°），由勾股定理：DE² = EF² + DF²，即 x² = (8-x)² + 40。

5. 解方程： x² = 64 - 16x + x² + 40 => 0 = 104 - 16x => 16x = 104 => x = 6.5。

也是因为这些，DE的长度为6.5。

本题展示了在矩形折叠中，通过折叠性质得到线段相等，进而结合矩形边长，在折叠后产生的新直角三角形（如Rt△DEF）中运用勾股定理建立方程的基本流程。易搜职考网强调，准确找到包含未知量和已知量的直角三角形是解题成败的关键。

折叠问题不仅限于矩形，在直角三角形、梯形等图形中也十分常见，解题思想一脉相承。

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。将∠A沿DE折叠，使点A落在斜边AB上的点A'处，折痕为DE（D在AC上，E在AB上）。若A'是AB的中点，求折痕DE的长度。

分析与解：

1. 理解条件： 折叠后，点A与点A'重合，折痕为DE，且A'是斜边AB的中点。由折叠性质，DE垂直平分AA'，即DE⊥AB，且AD = A'D。

2. 寻找和构造直角三角形： 在Rt△ABC中，由勾股定理易得AB = 10。因为A'是AB中点，所以AA' = A'B = 5。由于DE⊥AB，∠AED = 90°。所以△ADE和△ABC有公共角∠A，故△ADE ∽ △ABC。这为我们提供了比例关系，但本题要求DE，我们亦可直接用勾股定理。

3. 设定未知并建立关系： 设AD = x，则由于折叠，A'D = AD = x。在Rt△A'BD中，A'B=5，BD = BC - CD？CD未知。更直接的是利用△ADE。因为△ADE ∽ △ABC，所以AD/DE = AB/BC，即 x/DE = 10/8 = 5/4，所以DE = (4/5)x。

4. 应用勾股定理建立方程： 在Rt△ADE中，∠ADE可由折叠知等于∠A'DE，但不一定是90°。实际上，由于DE是折痕，且A与A'对称，所以DE垂直平分AA'，因此∠ADE = 90°？不，DE垂直平分AA'，意味着DE与AA'垂直，但点D在AC上，所以DE不一定与AC垂直。我们需要另一个直角三角形。观察Rt△A'DE，因为DE⊥AA'，所以∠A'DE = 90°。在Rt△A'DE中，A'D = x，DE = (4/5)x，我们需要知道A'E。由于折叠，AE = A'E。在Rt△ABC中，由面积法或相似可求AE，但更直接的是利用整体关系。因为A'是AB中点，且AA'=5，所以AE = A'E。在△ABC中，cosA = AC/AB = 6/10 = 3/5。在Rt△A'DE中，cosA = A'E / A'D？注意∠A在Rt△A'DE中就是∠DA'E。所以，A'E = A'D cosA = x (3/5) = (3/5)x。现在，在Rt△A'DE中，由勾股定理：A'D² = A'E² + DE²，即 x² = [(3/5)x]² + [(4/5)x]²。

5. 解方程并求解： x² = (9/25)x² + (16/25)x² = (25/25)x² = x²。此方程为恒等式，说明我们的设定和关系自洽，但未能解出具体x。这意味着我们需要另一个条件来定解。考虑AD + CD = AC = 6，但CD未知。或者利用A'E + EB = AB = 10，但EB未知。最有效的方法是回到相似三角形△ADE ∽ △ABC，除了边的比例，还有面积比等，但更直接的是利用对应边成比例：AD/AE = AC/AB。即 x / A'E = 6/10 = 3/5。而A'E = (3/5)x，代入得 x / [(3/5)x] = 3/5 => 5/3 = 3/5，矛盾？这说明我们之前的A'E表达式有误。实际上，∠A'DE并不一定是90°。DE垂直平分AA'，所以DE⊥AA'于点，设为M，则M是AA'中点，且∠A'MD=90°。所以△A'MD是直角三角形，而不是△A'DE。正确的做法是：设AD = x，则A'D = x。设DE与AA'交于点M，则AM = A'M = AA'/2 = 5/2 = 2.5。在Rt△ADM中，由勾股定理：DM² = AD² - AM² = x² - (2.5)²。又因为DE是折痕，D和E关于DE对称，但求DE需要知道E点。由于△ADE ∽ △ABC，所以DE/BC = AD/AB，即 DE/8 = x/10，所以DE = (4/5)x。
于此同时呢，DM是DE的一部分，且M是DE上点吗？不，M是AA'与DE的交点，根据轴对称性质，M在DE上，且DM = ME。所以DE = 2DM。
也是因为这些，DM = DE/2 = (2/5)x。现在，在Rt△ADM中应用勾股定理：DM² = AD² - AM²，即 [(2/5)x]² = x² - (2.5)²。

6. 解方程： (4/25)x² = x² - 6.25 => x² - (4/25)x² = 6.25 => (21/25)x² = 6.25 => x² = (6.25 25)/21 = (156.25)/21 ≈ 7.4405 => x ≈ 2.728。则DE = (4/5)x ≈ (4/5)2.728 = 2.1824。但更精确地解：6.25=25/4，所以x² = (25/4 25)/21 = (625)/(84)， x = √(625/84) = 25/√84 = 25/(2√21) = (25√21)/42。则DE = (4/5) (25√21)/42 = (100√21)/(210) = (10√21)/21。

本题比矩形折叠更复杂，关键在于利用折痕垂直平分对称点连线这一性质，构造出以折痕片段、对称点连线的半长和折叠前线段为三边的直角三角形（如Rt△ADM），从而运用勾股定理。易搜职考网提示，当折叠点落在特殊位置（如中点）时，要善于将特殊条件转化为具体的线段长度。

折叠问题也可以与动点结合，探究线段长度或图形面积的变化规律，甚至求取最值。勾股定理是建立函数关系式的核心工具。

如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6。点E是边AD上的一个动点（不与A、D重合）。将△ABE沿BE折叠，使点A落在点F处。连接CF。求折痕BE长度的最小值。

分析与解：

本题中，点E是动点，因此折痕BE的长度也随之变化。求BE的最小值，需要建立BE关于某线段长度（如AE）的函数表达式，再利用几何性质或代数方法求最值。

1. 分析不变性与动点关系： 折叠后，BA = BF = 4（定长），点F的轨迹是以B为圆心、4为半径的圆（位于矩形内部或边界部分）。折痕BE是∠ABF的角平分线，且垂直平分AF。

2. 建立函数模型： 设AE = x，则由于折叠，EF = AE = x。在Rt△ABE中，由勾股定理，BE² = AB² + AE² = 4² + x² = 16 + x²。所以BE = √(16+x²)。显然，BE随x的增大而增大。那么，BE的最小值是否对应x的最小值？x是AE，E在AD上，AD=6，所以x的取值范围是00。但BE=4是否就是最小值？我们需要检查此时的情况是否成立。当x→0，即E无限接近A点时，折痕BE无限接近线段BA本身（长度4），但此时折叠几乎未发生，F点也无限接近A点。题目中E不与A重合，所以BE>4。从表达式看，BE = √(16+x²)在x>0时确实大于4。但这是否意味着当x最小时BE最小？是的，因为函数√(16+x²)在[0, +∞)单调递增。所以当x取最小值时BE最小。但x有最小值吗？E是AD上动点，理论上可以无限靠近A，所以x可以无限接近0，BE无限接近4但大于4，没有最小值？这似乎与求“最小值”的题意矛盾。这说明我们对BE的表达可能忽略了其他约束条件。问题出在：我们假设的Rt△ABE始终存在，但BE的长度表达式确实是BE = √(16+x²)，它只依赖于x。如果x可以无限小，BE就无限接近4，没有最小值。但题目要求最小值，暗示BE的长度存在一个下界，且这个下界可以在某个特定的E点取到。这意味着动点E可能受到其他条件的限制，使得x不能无限小。这个限制可能来自于点F的位置。折叠后，点F必须落在矩形内或边上（有时题目会明确说落在矩形内部）。如果F落在矩形外部，可能就不符合题意了。
也是因为这些，我们需要考虑点F的轨迹与矩形区域的约束关系。

3. 引入约束条件： 点F的轨迹是以B为圆心、4为半径的圆弧。当E从A向D移动时，F点也从A开始沿着圆弧移动。为了保证F在矩形内部（或边上），F的纵坐标（以B为原点建立坐标系可能方便）需满足一定条件。更直接的方法是：连接BF、CF。题目中提到了连接CF，这可能是一个线索。或许BE的长度与CF的长度有关，或者当CF取得某种最值时，BE也取得最值。另一种思路是：求BE的最小值，可以转化为求点E到某个定点的距离最小值吗？折痕BE是角平分线，且A关于BE的对称点是F。一个常见的技巧是：在折叠问题中，求折痕长度最值，往往需要利用“折痕是对称点连线的垂直平分线”这一性质，将折痕长度与对称点距离联系起来。设BE与AF交于点M，则M为AF中点，且BE⊥AF。在Rt△ABM中，BE = BM / cos∠ABE，关系复杂。更经典的方法是：BE的长度可以通过△ABE的面积来表达，S△ABE = (1/2)ABAE = (1/2)BEAM，所以BE = (ABAE)/AM。其中AM是AF的一半。而AF的长度可以通过点A和点F的距离得到。由于F在以B为圆心、4为半径的圆上，AF的长度是变化的。这并没有简化问题。

4. 寻找关键状态（几何直观）： 观察当点E从A向D运动时，折痕BE从BA位置开始逐渐顺时针旋转，长度逐渐增加。当E运动到D点时，折叠△ABD？不，是折叠△ABE，E在AD上，当E与D重合时，折叠△ABD，此时折痕是BD？不对，折痕是BE，E与D重合，就是沿BD折叠？但折叠△ABE，要求点A落在线段某处，当E与D重合时，将△ABD沿BD折叠，点A落在A‘，此时折痕是BD，其长度可由勾股定理求出：BD = √(AB²+AD²)=√(16+36)=√52=2√13≈7.21。这比4大很多。所以BE的长度随着E从A向D移动，是从大于4的值增加到2√13。
也是因为这些，BE确实存在一个最小值，且这个最小值在E非常靠近A的时候取到，但E不能与A重合，所以最小值是一个极限值4吗？题目通常不会考察极限值。我们重新审视：点E是边AD上的一个动点（不与A、D重合）。这意味着E可以在线段AD上任意位置（端点除外）。那么函数BE=√(16+x²)，定义域为x∈(0, 6)。这是一个开区间，函数在该区间内单调递增，所以下确界是x→0+时的4，但取不到；上确界是x→6-时的√52，也取不到。
也是因为这些，BE没有最小值，只有取值范围(4, 2√13)。但题目问“求折痕BE长度的最小值”，这暗示最小值存在且可求。可能我遗漏了条件“点F落在CD边上”或“连接CF”后产生了新的约束。许多考题中，会要求点F落在矩形某边上，这样F的位置就确定了，进而E点位置也确定，折痕BE就有确定长度。如果加上“点F落在CD边上”这个条件，题目就合理了。我们假设原题有“点F落在CD边上”这一条件（常见变式题）。

5. 在附加条件下求解： 假设点F落在边CD上。设AE = x，则EF = x。过F作FG⊥AD于点G（G在AD延长线上？）更规范地，过F作FH⊥BC于H，交AD于G。则四边形ABHG是矩形，GH=AB=4。由折叠，BF=AB=4。设CG=y，则FH=4-y？不如直接设DH=y，则CH=6-y？在Rt△BCF中？点F在CD上，连接BF、CF。由于BF=4，BC=6，在Rt△BCF中，由勾股定理：CF² = BF² - BC²？不对，∠C不一定是直角。实际上，在矩形中，CD⊥BC。所以∠BCD=90°。点F在CD上，所以△BCF是直角三角形，∠BCF=90°。在Rt△BCF中，BC=6，BF=4，由勾股定理：CF² + BC² = BF²，即 CF² + 36 = 16，这不可能，因为CF²≥0。矛盾！这说明点F不可能落在CD边上，因为BF=4

6. 在“点F落在边BC上”条件下求解： 当点F落在BC边上时，连接AF，交BE于M。由折叠，BE垂直平分AF。此时，由于F在BC上，且AB=BF=4，所以△ABF是等腰三角形，B是顶点。因为BE垂直平分AF，所以E在AF的垂直平分线上，即BE就是等腰△ABF底边AF的中垂线。此时，点E是AF与AD的交点。我们需要求此时BE的长度。在等腰△ABF中，AB=BF=4，底边AF未知。由折叠，AE=EF。设AE=EF=x。在Rt△ABE中，BE²=16+x²。但我们还需要另一个关系。因为F在BC上，所以可以过F作FN⊥AD于N（N在AD上）。则四边形ABFN是矩形？不，A、B、F、N不一定是矩形。因为∠BAN=90°，AB∥FN。设AN=BF？更直接：在Rt△EFN中，EN = AD - AE - ND？复杂。更好的方法：利用△ABE和△FCE相似？点F在BC上，C点未用。连接CF。由于矩形ABCD，AD∥BC，所以∠AEB=∠EBF（内错角）。由折叠∠AEB=∠BEF，所以∠BEF=∠EBF，所以△BEF是等腰三角形，BF=EF=x。但BF=AB=4，所以x=4。这样AE=4。在Rt△ABE中，BE=√(16+16)=√32=4√2≈5.657。这是特定情况下的BE长度，但题目要求最小值，这只是一个值。我们需要证明当F落在BC边上时，BE取得最小值。考虑一般情况：设AE=x，EF=x。过F作FG⊥AD于G。则AG=BF？不，四边形ABFG是矩形？A、B、F、G如果共面，且AB∥FG，AG∥BF，但BF不一定垂直AB？实际上，由折叠，∠BFE=∠A=90°，所以BF⊥EF。在Rt△BEF中，BE² = BF² + EF² = 16 + x²。这又回到了最初的表达式。所以如果只要求BE长度，当F在BC上时，BE=√(16+x²)，但此时x由F在BC上这个条件决定。我们需要求出这个特定的x。如何求？利用F在BC上，所以B、F、C可能共线？不，F是BC边上的点，所以线段BF在BC上，且BF=4，BC=6，所以CF=2。现在，在矩形中，AD=6，AE=x，则DE=6-x。由折叠，EF=x。过F作FH⊥AD于H，则FH=AB=4，EH = |AE - AH|。AH=BF=4？因为ABFH是矩形，所以AH=BF=4。所以当E在H左侧时，AE < AH，EH = AH - AE = 4 - x。在Rt△EFH中，由勾股定理：EF² = EH² + FH²，即 x² = (4-x)² + 4²。解得：x² = 16 - 8x + x² + 16 => 0 = 32 - 8x => 8x=32 => x=4。与之前结论一致。所以当F落在BC边上时，AE=x=4，此时BE=√(16+16)=4√2。那么，这是BE的最小值吗？我们需要考察其他位置的BE是否比4√2小。当E从A向这个特定点（x=4）移动时，BE从大于4增加到4√2；当E从这个特定点向D移动时，BE从4√2继续增加。
也是因为这些，在F落在BC边上的这个点，BE取得最小值4√2。但这是否是全局最小值？之前我们分析当E无限靠近A时，BE无限接近4，比4√2小。但那时F点落在哪里？当E无限靠近A时，折叠几乎未发生，F无限靠近A，此时F在AD边上（靠近A），而不在BC边上。如果题目没有限制F必须落在矩形某条特定边上，那么BE可以无限接近4，最小值不存在。如果题目隐含了条件“点F落在矩形内部”，那么当E非常靠近A时，F也非常靠近A，仍在矩形内部，所以BE可以无限接近4。
也是因为这些，要使BE有确定的最小值，通常需要附加条件如“点F落在BC边上”或“点F落在CD边上”等。在“点F落在BC边上”的条件下，我们通过勾股定理建立方程求出x=4，进而得到BE的最小值为4√2。

本题是一道典型的动态折叠最值问题，展示了如何通过分析动点的约束条件（如落点位置），利用勾股定理建立方程确定特殊状态，进而求解最值。易搜职考网建议，处理此类综合题时，要耐心梳理折叠过程中的变量与不变量，明确约束条件，并灵活运用勾股定理构建等量关系。

通过对以上各类例题的剖析，我们可以归结起来说出解决折叠问题中勾股定理应用的一般策略与注意事项。

• 策略一：模型识别，固化思路。 见到折叠问题，立即在脑海中过一遍折叠性质（全等、对称、折痕垂直平分对称点连线）。解题步骤遵循“设未知数、寻找直角三角形、列勾股方程”的流程。
• 策略二：巧设未知，优化计算。 通常设所求线段或与其直接相关的线段长度为未知数。尽量选择一个能使其他相关线段表达式简单的量作为未知数，以减少计算量。
• 策略三：多向构造，捕捉直角。 直角三角形可能存在于原图形中，也可能需要自己构造。常见的构造方法包括：作垂线（利用折痕的垂直平分性质）、连接对称点与相关点、利用矩形/正方形的内角等。
• 策略四：数形结合，注意范围。 对于动点折叠问题，在建立函数关系式时，务必注意动点的运动范围（定义域），这对求最值或取值范围至关重要。

常见易错点：

• 忽略折叠的轴对称本质，错误理解对应关系。
• 应用勾股定理时，未能正确识别直角边和斜边。
• 在动态问题中，遗漏了动点或落点的位置约束条件，导致答案不完整或错误。
• 计算粗心，特别是在解一元二次方程时。

勾股定理在折叠问题中的应用，是数学知识融会贯通的绝佳体现。它要求考生具备扎实的基础知识、清晰的空间观念和灵活的代数变形能力。通过系统的训练，如易搜职考网提供的专题练习和模拟试题，考生可以熟练掌握这类问题的解题技巧，从而在考试中从容应对，取得理想成绩。希望本文的详细阐述能帮助读者深刻理解这一重要题型，并在在以后的学习和考试中游刃有余。