平面向量基本定理例题-向量定理解析

平面向量基本定理是向量代数中的核心理论之一，它深刻地揭示了二维平面内向量结构的本质。该定理指出，平面内的任何向量都可以用一组不共线的向量的线性组合唯一表示。这组不共线的向量被称为基底（或基向量），而表示系数则称为坐标。这一定理不仅是连接几何与代数的桥梁，更是整个向量理论体系，包括坐标表示、向量运算、解几问题乃至后续空间向量学习的基石。在考试，尤其是高考数学中，对平面向量基本定理的考察贯穿始终，形式多样。它不仅是选择题、填空题的常客，也经常作为解答题的关键步骤出现。考察重点在于对定理本质的理解——即“唯一性”与“基底的不共线性”，以及如何灵活运用定理进行向量的分解、表示和运算。掌握这一定理，意味着学生能够将复杂的几何关系转化为精确的代数运算，从而高效解决诸如共线、共点、长度、夹角、最值等一系列问题。对于备考者来说呢，深入理解并熟练应用这一定理，是提升数学解题能力，特别是在解析几何和向量综合题目中取得高分的关键。易搜职考网提醒广大考生，务必重视这一定理的基础性和工具性，通过典型例题的反复锤炼，达到融会贯通的境界。

平面向量基本定理的内容简洁而深刻：如果e₁、e₂是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ₁、λ₂，使得 a = λ₁e₁ + λ₂e₂。其中，{e₁, e₂}称为表示这一平面内所有向量的一组基底。

理解这一定理，必须抓住三个核心要点：

• 基底的不共线性：这是定理成立的前提。如果e₁与e₂共线，它们只能表示与之共线方向上的向量，无法表示整个平面内的任意向量。
• 表示的任意性：平面内的“任一”向量都可以被表示，体现了基底的完备性。
• 表示的唯一性：“有且只有一对实数”保证了表示的确定性，这使得向量的坐标表示成为可能，为代数化运算奠定了坚实基础。

下面，我们将通过一系列由浅入深、覆盖考点的例题，结合易搜职考网对考试命题规律的深入研究，来全面阐述这一定理的应用。

这类题目主要考察对定理基本内容的理解，以及如何选择合适的基底。

已知向量a， b不共线，判断下列各组向量能否作为平面内所有向量的一组基底？若能，试将向量c = 2a - 3b用该组基底表示。 (1) e₁ = a + b, e₂ = a - b (2) e₁ = 2a - b, e₂ = 4a - 2b

解析与解答：

(1) 判断e₁与e₂是否共线。假设存在实数k，使得e₁ = ke₂，即a+b = k(a-b) = ka - kb。根据向量基本定理，系数必须对应相等，得1=k且1=-k，解得k=1且k=-1，矛盾。故不存在这样的k，因此e₁与e₂不共线，可以作为基底。

设c = xe₁ + ye₂ = x(a+b) + y(a-b) = (x+y)a + (x-y)b。 又已知c = 2a - 3b。 由于a, b不共线，根据表示的唯一性，有： x + y = 2 x - y = -3 解得：x = -0.5, y = 2.5。 所以，c = -0.5e₁ + 2.5e₂。

(2) 观察e₂ = 4a-2b = 2(2a-b) = 2e₁。显然e₂ = 2e₁，两向量共线。
也是因为这些，它们不能作为平面内所有向量的一组基底。

易搜职考网点拨：判断两个向量能否作为基底，核心就是判断它们是否不共线。常用方法：①观察是否存在实数k使一个向量等于另一个向量的k倍；②设e₁ = (x1, y1), e₂ = (x2, y2)，判断x1y2 - x2y1 ≠ 0。

平面向量基本定理是处理点共线、线段比例问题的利器，其本质是将几何关系转化为基底系数间的代数关系。

在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且AD:DB = 1:2，AE:EC = 2:1。设BE与CD交于点F。试用向量AB和AC为基底表示向量AF。

解析与解答：

选择AB, AC作为一组基底。这是处理三角形问题时最常用的基底选择策略。

由题意，AD = (1/3)AB, AE = (2/3)AC。

因为B、F、E三点共线，所以存在实数λ，使得AF = (1-λ)AB + λAE = (1-λ)AB + (2λ/3)AC。 (共线定理表达形式1)

同理，因为C、F、D三点共线，所以存在实数μ，使得AF = μAD + (1-μ)AC = (μ/3)AB + (1-μ)AC。 (共线定理表达形式2)

由于AB与AC不共线，且表示同一向量AF，根据平面向量基本定理的“唯一性”，对应基底的系数必须相等：

• AB的系数：1-λ = μ/3 ...(1)
• AC的系数：2λ/3 = 1-μ ...(2)

联立方程(1)(2)，解得：λ = 3/5, μ = 6/5。

将λ=3/5代入AF的第一个表达式，得： AF = (1 - 3/5)AB + (2(3/5)/3)AC = (2/5)AB + (2/5)AC。

（也可代入μ验证：AF = (6/5)/3 AB + (1-6/5)AC = (2/5)AB + (-1/5)AC？这里计算有误，验证发现μ=6/5代入(2)式不成立。重新求解方程组：

由(1): μ = 3 - 3λ 代入(2): 2λ/3 = 1 - (3 - 3λ) = 3λ - 2 => 2λ/3 = 3λ - 2 => 两边乘以3: 2λ = 9λ - 6 => 7λ = 6 => λ = 6/7 代入(1): 1 - 6/7 = μ/3 => 1/7 = μ/3 => μ = 3/7 重新代入表达式： AF = (1 - 6/7)AB + (2(6/7)/3)AC = (1/7)AB + (4/7)AC 或 AF = (3/7)/3 AB + (1 - 3/7)AC = (1/7)AB + (4/7)AC，结果一致。）

故，AF = (1/7)AB + (4/7)AC。

易搜职考网点拨：本题是经典的“星形线”问题（塞瓦定理的向量形式）。解题关键在于：
1.合理选择基底（通常选从公共点出发的两边对应向量）；
2.利用两次三点共线，得到向量AF的两种不同线性表达式；
3.根据基本定理的唯一性，建立关于参数的方程组。这是解决向量交汇问题的标准流程。

平面直角坐标系是平面向量基本定理最直观的特例，标准单位向量i=(1,0), j=(0,1)就是一组最特殊的基底。

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1, 2), B(3, 4), C(5, 0)。点P满足向量AP = λAB + μAC，其中λ+μ=1。求点P的轨迹方程，并判断其形状。

解析与解答：

设P点坐标为(x, y)。则AP = (x-1, y-2), AB = (2, 2), AC = (4, -2)。

由AP = λAB + μAC，可得： (x-1, y-2) = λ(2, 2) + μ(4, -2) = (2λ+4μ, 2λ-2μ)。

根据向量相等，得到坐标方程组： x - 1 = 2λ + 4μ ...(1) y - 2 = 2λ - 2μ ...(2)

又已知条件λ + μ = 1 => μ = 1 - λ。代入(1)(2)式消去μ：

(1)式: x - 1 = 2λ + 4(1-λ) = 2λ + 4 - 4λ = 4 - 2λ => 2λ = 5 - x => λ = (5-x)/2。 (2)式: y - 2 = 2λ - 2(1-λ) = 2λ - 2 + 2λ = 4λ - 2 => 4λ = y => λ = y/4。

也是因为这些，(5-x)/2 = y/4，整理得：2(5-x) = y => 10 - 2x = y，即 y = -2x + 10。

又因为λ, μ是实数，且点P由向量等式定义，故P点轨迹为直线。代入A、B、C点验证：A点对应λ=1, μ=0；B点对应λ=1, μ=0？计算B(3,4)：AB=(2,2)，若P为B，则AP=AB=(2,2)，代入等式(2,2)=λ(2,2)+μ(4,-2)，解得λ=1, μ=0，满足λ+μ=1。C点(5,0)：AP=(4,-2)=AC，对应λ=0, μ=1。可见A、B、C三点均满足条件，且B点与A点参数相同有误，重新计算B点：对于B(3,4)，AP=(2,2)，方程组2=2λ+4μ, 2=2λ-2μ，相减得0=6μ=>μ=0，代入得λ=1。确实满足。实际上，条件λ+μ=1意味着点P在由A、B、C三点确定的平面上？在二维平面内，λ+μ=1表明点P的轨迹是过A点，以AB, AC为方向向量的直线束？具体是直线BC。验证：直线BC方程为通过B(3,4), C(5,0)，斜率k=(0-4)/(5-3)=-2，方程为y-4=-2(x-3) => y=-2x+10，与结果一致。
也是因为这些，点P的轨迹是直线BC，其方程为y = -2x + 10。

易搜职考网点拨：本题揭示了平面向量基本定理的一个重要几何意义：当系数和λ+μ=1时，点P的轨迹是过定点（这里是A）与由基底向量终点（B、C）确定的直线平行的直线？更准确地说，是点P位于直线BC上。推广：若OP = λOA + μOB，且λ+μ=1，则P点在直线AB上。这是三点共线的一个优美向量充要条件。在考试中，经常对此进行变形考察。

平面向量基本定理还能与几何度量、函数最值等问题结合，形成综合性较强的题目。

在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，DE与BF交于点G。设AB = a, AD = b，以{a, b}为基底。 (1) 试用a, b表示向量DE, BF； (2) 试用a, b表示向量AG； (3) 求△GBC与平行四边形ABCD的面积之比。

解析与解答：

(1) 根据平行四边形法则及中点性质： DE = DC + CE = AB + (1/2)CB = a + (1/2)(-b) = a - (1/2)b。 BF = BC + CF = b + (1/2)(-a) = b - (1/2)a。

(2) 由于D、G、E三点共线，存在实数m，使得DG = m DE = m(a - (1/2)b)。 所以 AG = AD + DG = b + ma - (m/2)b = ma + (1 - m/2)b。 ...(A)

又因为B、G、F三点共线，存在实数n，使得BG = n BF = n(b - (1/2)a)。 同时，AG = AB + BG = a + nb - (n/2)a = (1 - n/2)a + nb。 ...(B)

由平面向量基本定理的唯一性，比较(A)(B)两式中a, b的系数： 对于a的系数：m = 1 - n/2 ...(1) 对于b的系数：1 - m/2 = n ...(2)

将(2)代入(1)：m = 1 - (1 - m/2)/2 = 1 - 1/2 + m/4 = 1/2 + m/4。 => m - m/4 = 1/2 => (3m/4) = 1/2 => m = 2/3。 代入(2)：n = 1 - (2/3)/2 = 1 - 1/3 = 2/3。

将m=2/3代入(A)式：AG = (2/3)a + (1 - (2/3)/2)b = (2/3)a + (1 - 1/3)b = (2/3)a + (2/3)b。

(3) 要求S△GBC : S平行四边形ABCD。连接CG并延长交AB于H？更简便的方法是利用面积比与向量比的关系。△GBC与平行四边形ABCD同高（以BC为底）？不直接。利用共线向量的比例关系。 由(2)知，DG = mDE = (2/3)DE，所以|DG|:|GE| = 2:1，即G是DE的一个三等分点（近D端）。 同理，BG = nBF = (2/3)BF，所以|BG|:|GF| = 2:1。

考虑△BCF的面积。在△BCF中，G在BF上，且BG:GF=2:1，所以S△BCG : S△GCF = 2:1（同高）。设S△GCF = S，则S△BCG = 2S，故S△BCF = 3S。 又F是CD中点，所以S△BCF = (1/2) S△BCD（因为CF = 1/2 CD，同高）。而S△BCD = (1/2) S平行四边形ABCD。 所以，S△BCF = (1/2) (1/2) S平行四边形ABCD = (1/4) S平行四边形ABCD。 也是因为这些，3S = (1/4) S平行四边形ABCD => S = (1/12) S平行四边形ABCD。 那么，S△BCG = 2S = (2/12) S平行四边形ABCD = (1/6) S平行四边形ABCD。

故，△GBC与平行四边形ABCD的面积比为 1:6。

易搜职考网点拨：本题是向量与几何综合的典范。解题链条长，逻辑严密：
1.用基底表示相关向量；
2.利用共线设参数，通过基本定理唯一性解出参数；
3.将向量系数比转化为几何线段比，进而利用面积模型（共高、共底）求解面积比。这要求考生具备清晰的几何图形分解能力和扎实的向量运算功底。易搜职考网建议，在处理此类问题时，养成在图上标注比例关系的习惯，能极大提升解题效率和准确性。

通过以上四个层次、多种类型的例题剖析，我们可以清晰地看到，平面向量基本定理远非一个孤立的公式。它是一个强大的思维工具和运算框架。从最基础的基底判断，到复杂的几何关系代数化处理，再到与坐标、面积、最值等知识的融合，其核心思想始终如一：将平面内复杂的向量问题，通过选取合适的基底，转化为关于实数系数（坐标）的运算问题。这正体现了数学中“化归与转化”的核心思想。

在备考过程中，考生应首先确保对定理内容（尤其是“不共线”、“任一”、“唯一”）的理解毫无偏差。通过大量练习，掌握常见基底选取策略（如三角形中取两边对应向量，平行四边形中取邻边向量，直角坐标系中取单位正交向量等）。要善于归结起来说识别题目中的共线、比例、交点等条件，并将其准确翻译为向量表达式或系数关系。唯有将定理内化为一种自然的解题直觉，才能在面对千变万化的考题时游刃有余。实践表明，对平面向量基本定理的深刻掌握，是攻克整个平面向量板块乃至解析几何部分相关难题的必备前提，其重要性无论怎样强调都不为过。