韦达定理相关例题10道-韦达定理例题10道

1.已知方程，求与两根相关的对称代数式的值（如 ( frac{1}{x_1} + frac{1}{x_2} )， ( x_1^2 + x_2^2 ) 等）。

2.已知两根满足某种条件，反求方程的系数或参数的值。

3.不解方程，判断根的符号、大小等性质。

4.构造以给定两数为根的新方程。

5.在解析几何中，处理直线与圆锥曲线相交所涉及弦长、中点等问题时，韦达定理是简化运算、避免直接求交点的核心工具。

已知方程 ( 2x^2 - 6x + 1 = 0 ) 的两根为 ( alpha, beta )，求 ( alpha^2 + beta^2 ) 的值。

解析：这是韦达定理最直接的应用。由韦达定理得：( alpha + beta = -frac{-6}{2} = 3 )，( alphabeta = frac{1}{2} )。

要求 ( alpha^2 + beta^2 )，需将其转化为关于 ( alpha + beta ) 和 ( alphabeta ) 的表达式：( alpha^2 + beta^2 = (alpha + beta)^2 - 2alphabeta )。

代入计算：( alpha^2 + beta^2 = 3^2 - 2 times frac{1}{2} = 9 - 1 = 8 )。

本题考察了对基本对称式变形的掌握，是后续复杂问题的基础。

已知方程 ( x^2 - 3x - 5 = 0 ) 的两根为 ( x_1, x_2 )，求作一个以 ( frac{1}{x_1} ) 和 ( frac{1}{x_2} ) 为根的一元二次方程。

解析：设所求新方程为 ( y^2 + py + q = 0 )，其根 ( y_1 = frac{1}{x_1}, y_2 = frac{1}{x_2} )。

由原方程韦达定理：( x_1 + x_2 = 3 )，( x_1 x_2 = -5 )。

计算新方程的两根和与积：

• ( p = -(y_1 + y_2) = -left( frac{1}{x_1} + frac{1}{x_2} right) = -frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = -frac{3}{-5} = frac{3}{5} )。
• ( q = y_1 y_2 = frac{1}{x_1} cdot frac{1}{x_2} = frac{1}{x_1 x_2} = frac{1}{-5} = -frac{1}{5} )。

故所求方程为 ( y^2 + frac{3}{5}y - frac{1}{5} = 0 )，化为整系数方程为 ( 5y^2 + 3y - 1 = 0 )。

本题关键在于理解新方程的系数与旧方程根的关系，并进行准确的代数变形。

关于 ( x ) 的方程 ( x^2 + (2k+1)x + k^2 - 2 = 0 ) 的两实数根的平方和等于11，求实数 ( k ) 的值。

解析：设方程的两根为 ( x_1, x_2 )。由韦达定理：( x_1 + x_2 = -(2k+1) )，( x_1 x_2 = k^2 - 2 )。

条件为 ( x_1^2 + x_2^2 = 11 )。利用变形：( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 )。

代入得：( [-(2k+1)]^2 - 2(k^2 - 2) = 11 )。

化简：( 4k^2 + 4k + 1 - 2k^2 + 4 = 11 ) → ( 2k^2 + 4k + 5 = 11 ) → ( 2k^2 + 4k - 6 = 0 ) → ( k^2 + 2k - 3 = 0 )。

解得 ( k = 1 ) 或 ( k = -3 )。

必须验证判别式！ 方程有两实根，需满足 ( Delta = (2k+1)^2 - 4(k^2 - 2) ge 0 )。

• 当 ( k = 1 ) 时，( Delta = (3)^2 - 4(-1) = 9+4=13 > 0 )，符合。
• 当 ( k = -3 ) 时，( Delta = (-5)^2 - 4(7) = 25-28=-3 < 0 )，不符合，舍去。

故 ( k = 1 )。本题提醒，应用韦达定理时，判别式非负是前提，易搜职考网提醒各位考生在解决含参二次方程问题时，检验判别式是不可或缺的步骤。

不解方程 ( 3x^2 - 5x + 2 = 0 )，判断其两根的符号。

解析：设两根为 ( x_1, x_2 )。由韦达定理：( x_1 + x_2 = frac{5}{3} > 0 )，( x_1 x_2 = frac{2}{3} > 0 )。

因为两根积为正，说明两根同号（同正或同负）。

又因为两根和为正，所以两根只能同为正数。

故方程有两个正根。这种方法避免了求解，直接通过系数关系判断根的性质，在选择题和快速判断中非常高效。

直线 ( y = x - 1 ) 与抛物线 ( y^2 = 4x ) 相交于 ( A, B ) 两点，求线段 ( AB ) 的长。

解析：这是韦达定理在解析几何中的经典应用。联立方程组： [ begin{cases} y = x - 1 \ y^2 = 4x end{cases} ]

代入消元：( (x-1)^2 = 4x ) → ( x^2 - 2x + 1 = 4x ) → ( x^2 - 6x + 1 = 0 )。

设 ( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) )，则 ( x_1, x_2 ) 是上述二次方程的两根。由韦达定理：( x_1 + x_2 = 6 )，( x_1 x_2 = 1 )。

弦长公式：( |AB| = sqrt{1+k^2} cdot sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2} )，其中 ( k=1 ) 是直线斜率。

代入计算：( |AB| = sqrt{1+1^2} cdot sqrt{6^2 - 4 times 1} = sqrt{2} cdot sqrt{36-4} = sqrt{2} cdot sqrt{32} = sqrt{64} = 8 )。

本题展示了如何利用韦达定理，避免求解具体的交点坐标，直接整体代入弦长公式，简化计算过程。

已知直线 ( l: y = 2x + m ) 与椭圆 ( frac{x^2}{4} + y^2 = 1 ) 相交，若弦的中点的横坐标为1，求 ( m ) 的值。

解析：设弦的端点 ( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) )，中点 ( M(1, y_0) )。联立直线与椭圆方程： [ begin{cases} y = 2x + m \ frac{x^2}{4} + y^2 = 1 end{cases} ]

代入消元 ( y )：( frac{x^2}{4} + (2x+m)^2 = 1 ) → ( x^2 + 4(4x^2 + 4mx + m^2) = 4 ) → ( 17x^2 + 16mx + 4m^2 - 4 = 0 )。

由韦达定理：( x_1 + x_2 = -frac{16m}{17} )。

又因为中点 ( M ) 的横坐标 ( frac{x_1 + x_2}{2} = 1 )，所以 ( x_1 + x_2 = 2 )。

因此有 ( -frac{16m}{17} = 2 )，解得 ( m = -frac{17}{8} )。

本题利用韦达定理表达了交点横坐标之和，再与中点坐标建立联系，是解析几何中处理中点弦问题的标准方法。

设 ( alpha, beta ) 是方程 ( x^2 - sqrt{10}x + 2 = 0 ) 的两根，且 ( alpha > beta )，求 ( alpha^2 - beta^2 ) 的值。

解析：常规思路是先求 ( alpha, beta ) 再代入，但利用韦达定理结合其他关系可以简化。由韦达定理：( alpha + beta = sqrt{10} )，( alphabeta = 2 )。

首先求 ( alpha - beta )。因为 ( alpha > beta )，所以 ( alpha - beta > 0 )。

利用公式：( (alpha - beta)^2 = (alpha + beta)^2 - 4alphabeta = (sqrt{10})^2 - 4 times 2 = 10 - 8 = 2 )。

故 ( alpha - beta = sqrt{2} )（取正值）。

也是因为这些，( alpha^2 - beta^2 = (alpha + beta)(alpha - beta) = sqrt{10} times sqrt{2} = sqrt{20} = 2sqrt{5} )。

本题通过先求 ( alpha - beta )，再与 ( alpha + beta ) 相乘，巧妙地避免了直接求解无理根，体现了韦达定理在简化计算中的优势。

若关于 ( x ) 的方程 ( x^2 + 2(m-1)x + m^2 - 4 = 0 ) 有两个不相等的正根，求实数 ( m ) 的取值范围。

解析：设方程两根为 ( x_1, x_2 )。需同时满足三个条件：

1. 判别式大于零：( Delta = [2(m-1)]^2 - 4(m^2-4) > 0 )。
2. 两根和大于零：( x_1 + x_2 = -2(m-1) > 0 )。
3. 两根积大于零：( x_1 x_2 = m^2 - 4 > 0 )。

分别解之：

• 由条件1：( 4(m^2 - 2m +1) - 4m^2 + 16 > 0 ) → ( -8m + 4 + 16 > 0 ) → ( -8m > -20 ) → ( m < frac{5}{2} )。
• 由条件2：( -2(m-1) > 0 ) → ( m-1 < 0 ) → ( m < 1 )。
• 由条件3：( m^2 > 4 ) → ( m < -2 ) 或 ( m > 2 )。

求三个不等式的交集：( m < frac{5}{2} ) 且 ( m < 1 ) 且 ( (m < -2 或 m > 2) )。

画数轴可得，公共部分为 ( m < -2 )。

故实数 ( m ) 的取值范围是 ( (-infty, -2) )。本题综合运用了韦达定理和判别式，是方程根分布问题的典型代表，在易搜职考网梳理的考试重点中，此类问题常考不衰。

已知三次方程 ( x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0 ) 的三个根分别为 ( a, b, c )，求 ( a^2 + b^2 + c^2 ) 的值。

解析：对于一元三次方程 ( Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0 ) (( A neq 0 ))，若其根为 ( x_1, x_2, x_3 )，则有推广的韦达定理：

• ( x_1 + x_2 + x_3 = -frac{B}{A} )
• ( x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = frac{C}{A} )
• ( x_1 x_2 x_3 = -frac{D}{A} )

对于本题，( A=1, B=-4, C=1, D=6 )。所以：

• ( a + b + c = -frac{-4}{1} = 4 )
• ( ab + bc + ca = frac{1}{1} = 1 )
• ( abc = -frac{6}{1} = -6 )

要求 ( a^2 + b^2 + c^2 )，利用恒等式：( a^2 + b^2 + c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca) )。

代入：( a^2 + b^2 + c^2 = 4^2 - 2 times 1 = 16 - 2 = 14 )。

本题展示了韦达定理向高次方程的推广，其核心思想——根的基本对称式与方程系数的关系——依然成立。

在平面直角坐标系中，抛物线 ( y = ax^2 + bx + c ) (( a > 0 )) 与 x 轴交于 ( A(x_1, 0), B(x_2, 0) ) 两点，与 y 轴交于点 ( C(0, -3) )。已知 ( |x_1 - x_2| = 4 )，且抛物线顶点纵坐标为 -4。求抛物线的解析式。

解析：本题信息丰富，需综合运用韦达定理、距离公式和顶点公式。

由点 ( C(0, -3) ) 在抛物线上，代入得 ( c = -3 )。故抛物线为 ( y = ax^2 + bx - 3 )。

由韦达定理：( x_1 + x_2 = -frac{b}{a} )，( x_1 x_2 = frac{c}{a} = -frac{3}{a} )。

条件 ( |x_1 - x_2| = 4 )。利用公式：( (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 )。

所以 ( 4^2 = left( -frac{b}{a} right)^2 - 4 left( -frac{3}{a} right) ) → ( 16 = frac{b^2}{a^2} + frac{12}{a} )。 (方程①)

抛物线顶点纵坐标公式为 ( frac{4ac - b^2}{4a} )。已知其为 -4，且 ( c=-3 )。

代入：( frac{4a cdot (-3) - b^2}{4a} = -4 ) → ( frac{-12a - b^2}{4a} = -4 ) → ( -12a - b^2 = -16a ) → ( b^2 = 4a )。 (方程②)

将方程② ( b^2 = 4a ) 代入方程①：( 16 = frac{4a}{a^2} + frac{12}{a} = frac{4}{a} + frac{12}{a} = frac{16}{a} )。

解得 ( a = 1 )。代入方程②得 ( b^2 = 4 )，故 ( b = pm 2 )。

因为 ( a > 0 )，且由顶点纵坐标为 -4 及开口向上，图形需合理。代入验证均可。但通常需结合其他隐含条件（如对称轴位置等）取舍，若无额外条件，两解均可能。

故抛物线解析式为 ( y = x^2 + 2x - 3 ) 或 ( y = x^2 - 2x - 3 )。

本题是韦达定理在二次函数图像问题中的综合应用，融合了代数与几何知识，对考生的综合分析能力提出了较高要求，也是易搜职考网在辅导中着重强化的题型之一。