斯特瓦尔特定理例题-斯特瓦尔特定理习题

斯特瓦尔特定理的具体表述为：设△ABC的边BC上有一点D（可与端点重合），连接AD，记AD = d，BD = m，CD = n，AB = c，AC = b，BC = a (显然有 m + n = a)。则有以下关系式成立： b²·m + c²·n = a(d² + m·n) 或者其等价形式： d² = (b²·m + c²·n) / a - m·n

该定理的证明方法多样，最经典的是通过两次应用余弦定理。在△ABD和△ADC中，对∠ADB和∠ADC应用余弦定理，注意到cos∠ADB = -cos∠ADC（因为两角互补），通过联立消去余弦值，即可推导出目标公式。另一种常见的证明是运用勾股定理，通过向BC边作高线，构造直角三角形，利用代数运算进行推导。理解证明过程有助于记忆公式并把握其几何本质。

斯特瓦尔特定理最直接和著名的应用，便是推导三角形中重要线段的长度公式。

• 中线公式： 当AD为BC边上的中线时，D为BC中点，即 m = n = a/2。代入斯特瓦尔特公式： b²·(a/2) + c²·(a/2) = a[d² + (a/2)·(a/2)] 化简得：(a/2)(b²+c²) = a(d² + a²/4) 进一步化简即得中线长公式：d² = (2b² + 2c² - a²) / 4 或 m_a = (1/2)√(2b²+2c²-a²)（其中m_a表示BC边上的中线长）。
• 角平分线公式： 当AD为∠BAC的角平分线时，由角平分线性质定理有 m/n = c/b，即 m = ac/(b+c)， n = ab/(b+c)。将其代入斯特瓦尔特公式，经过一系列代数化简（此过程是很好的练习），可得到角平分线长公式： d² = bc [1 - a²/(b+c)²] 或 t_a = √[bc((b+c)² - a²)] / (b+c)（其中t_a表示∠A对应的角平分线长）。

这些推导过程本身，就是理解和应用斯特瓦尔特定理的绝佳例题。在易搜职考网的专题课程中，我们强调学员必须亲自动手完成这些推导，以牢固掌握定理与推论之间的联系。

例题1： 在△ABC中，AB=7，AC=8，BC=9。点D在边BC上，且BD=3。求线段AD的长度。

解析： 这是斯特瓦尔特定理最直接的应用。已知：c=AB=7， b=AC=8， a=BC=9， m=BD=3， 则 n=CD=a-m=6。 直接代入公式：b²·m + c²·n = a(d² + m·n) 即：8²×3 + 7²×6 = 9×(d² + 3×6) 计算：64×3 + 49×6 = 9×(d² + 18) -> 192 + 294 = 9d² + 162 -> 486 = 9d² + 162 -> 9d² = 324 -> d² = 36 -> d=6。 故AD的长度为6。

点评： 此题直接套用公式，计算简单。关键在于准确识别模型：三角形中，从顶点到对边上一点连线的长度求解。

例题2： 已知P为△ABC底边BC上的任意一点。求证：AB²·PC + AC²·BP = AP²·BC + BP·PC·BC。

解析： 这正是斯特瓦尔特定理的标准表述，只不过将点、边用了不同的字母表示。设AB=c， AC=b， BC=a， AP=d， BP=m， PC=n（满足m+n=a）。 要证明的等式左边：c²·n + b²·m。 右边：d²·a + m·n·a = a(d² + m·n)。 根据斯特瓦尔特定理，左边等于右边，等式恒成立。
也是因为这些，命题得证。

点评： 此题可视为定理的复述，旨在让学习者熟悉定理的代数表达形式。在实际考试中，可能会要求用其他方法（如余弦定理）证明此结论，这反过来也说明了斯特瓦尔特定理与余弦定理的等价性。

例题3： 在△ABC中，AB=5， AC=6， BC=7。设I是△ABC的内心，AI的延长线交BC于D。求AI的长度。

解析： 内心是三条角平分线的交点，因此AD是∠BAC的角平分线。本题即求角平分线AD的长度。可以直接使用角平分线长公式，但此处我们演示如何用斯特瓦尔特定理结合角平分线性质求解。 由角平分线性质：BD/DC = AB/AC = 5/6。 又BC=7，设BD=5k， DC=6k，则5k+6k=7 -> 11k=7 -> k=7/11。故BD=m=35/11， DC=n=42/11。 已知AB=c=5， AC=b=6， BC=a=7。 代入斯特瓦尔特定理公式：b²·m + c²·n = a(d² + m·n) 即：6²×(35/11) + 5²×(42/11) = 7×[d² + (35/11)×(42/11)] 计算左边：36×(35/11) + 25×(42/11) = (1260/11) + (1050/11) = 2310/11 = 210。 右边：7×[d² + (1470/121)]。 所以有：210 = 7d² + 7×(1470/121) -> 210 = 7d² + 10290/121。 两边同时除以7：30 = d² + 1470/121 -> d² = 30 - 1470/121 = (3630 - 1470)/121 = 2160/121。 故 AI = d = √(2160/121) = (12√15) / 11。

点评： 本题综合了内心性质、比例关系与斯特瓦尔特定理。在易搜职考网的解题策略中，我们强调对于涉及三角形“心”（内心、重心、旁心等）的线段计算，斯特瓦尔特定理往往是核心工具之一。

例题4： 设P是△ABC边BC上任意一点，求证：AP² = (PC/BC)·AB² + (BP/BC)·AC² - BP·PC。

解析： 这个等式是斯特瓦尔特定理的一种常见变形，也常被称为“斯蒂沃特定理”的另一种表达。我们直接从原定理推导。 由斯特瓦尔特定理：AB²·PC + AC²·BP = AP²·BC + BP·PC·BC。 将含AP²的项移到一边：AP²·BC = AB²·PC + AC²·BP - BP·PC·BC。 两边同时除以BC（BC>0）：AP² = (AB²·PC)/BC + (AC²·BP)/BC - BP·PC。 即：AP² = (PC/BC)·AB² + (BP/BC)·AC² - BP·PC。证毕。

例题5： 在△ABC中，AB=AC， D是底边BC上一点。利用斯特瓦尔特定理证明：AD² = AB² - BD·DC。

解析： 这是等腰三角形中的一个常见性质。设AB=AC=b， BC=a， BD=m， DC=n， AD=d， 且m+n=a。 代入斯特瓦尔特定理：b²·m + b²·n = a(d² + m·n) -> b²(m+n) = a(d² + m·n) -> b²·a = a(d² + m·n)。 因为a>0，两边约去a得：b² = d² + m·n。 所以 d² = b² - m·n = AB² - BD·DC。得证。

点评： 例题4展示了公式的灵活变形，例题5则揭示了斯特瓦尔特定理在特殊三角形（等腰三角形）中会简化为更简洁优美的形式。这些拓展有助于提升思维灵活性，应对更高难度的挑战。

通过以上例题的分析，我们可以归结起来说出应用斯特瓦尔特定理解题的一般策略和注意事项：

• 策略一：模型识别。 当题目涉及三角形一个顶点到对边某点连线长度的平方，且已知或可求三边及该点分对边所得两段长度时，应优先考虑斯特瓦尔特定理。
• 策略二：公式记忆与选择。 牢记标准形式 b²·m + c²·n = a(d² + m·n) 及其等价变形。根据问题所求（是求d还是证明关系式）选择合适的公式形式。易搜职考网建议学员在理解的基础上记忆，并通过推导特殊情形公式来强化记忆。
• 策略三：结合几何性质。 若题目中的点D是特殊点（中点、内分定比分点、角平分线交点等），需先利用相关几何性质（如中线定义、角平分线定理、平行线分线段成比例等）确定m与n的比例或具体值，再代入定理计算。
• 易错点一：字母对应错误。 这是最常见的错误。必须严格对应：从顶点A出发，对边是BC，AB=c， AC=b， BC=a， AD=d， BD=m， CD=n。如果题目给的顶点是B或C，需要重新对应或先用定理的一般形式。
• 易错点二：忽略条件。 定理要求点D在边BC所在的直线上，通常是在线段BC上。若D在延长线上，公式形式需注意符号调整（此时m或n之一为负值），但考试中较少出现。
• 易错点三：计算复杂。 定理表达式中包含平方和乘积，计算量可能较大。需要仔细、逐步计算，避免因计算失误导致前功尽弃。在备考过程中，通过易搜职考网提供的专项计算训练，可以有效提升计算的准确性和速度。

斯特瓦尔特定理以其强大的功能性和广泛的适用性，在平面几何中占据着不可替代的位置。从基础的长度计算，到复杂的综合证明，再到与三角形各种心性质的结合，它展现了数学知识链的紧密连接。对于旨在攻克几何难题、提升数学素养的考生来说呢，深入钻研斯特瓦尔特定理及其例题，不仅仅是为了掌握一个公式，更是为了培养一种从复杂图形中抽象出数量关系、并运用代数工具精准解决几何问题的思维能力。这种能力，无论是在日常的深入学习中，还是在像易搜职考网所服务的各类职业能力测评与选拔考试中，都具有极高的价值。通过系统性的例题演练和反思归结起来说，考生能够将这一几何利器内化于心，外化于行，从而在解决实际几何问题时更加得心应手，游刃有余。