初中数学定义定理公式全集-初中数理公式全解

有理数包括整数和分数，任何有理数都可以用数轴上的点来表示。

定义：像+3，+0.5，+1/3这样大于0的数叫做正数；像-3，-0.5，-1/3这样在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。0既不是正数，也不是负数。整数和分数统称为有理数。

定理与性质：

• 相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。0的相反数是0。
• 绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即|a| = a (a>0); |a| = 0 (a=0); |a| = -a (a<0)。
• 有理数大小比较：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。

运算法则：

• 加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。
• 减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即 a - b = a + (-b)。
• 乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0。
• 除法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即 a ÷ b = a × (1/b) (b≠0)。
• 乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数。
• 运算律：加法交换律（a+b=b+a）、加法结合律（(a+b)+c=a+(b+c)）、乘法交换律（ab=ba）、乘法结合律（(ab)c=a(bc)）、乘法对加法的分配律（a(b+c)=ab+ac）。

有理数和无理数统称为实数。无理数是无限不循环小数，如π、√2等。

定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（或二次方根）。正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作√a。0的算术平方根是0。如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（或三次方根），记作³√a。

公式与性质：

• (√a)² = a (a≥0)。
• √(a²) = |a|。
• ³√(a³) = a。
• 实数与数轴上的点是一一对应的。

用运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。

定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独一个数或字母也是单项式。几个单项式的和叫做多项式。单项式和多项式统称整式。

公式（乘法公式）：

• 平方差公式：(a + b)(a - b) = a² - b²。
• 完全平方公式：(a ± b)² = a² ± 2ab + b²。

幂的运算性质：

• aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (m, n都是正整数)。
• (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ (m, n都是正整数)。
• (ab)ⁿ = aⁿbⁿ (n是正整数)。
• aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a≠0, m, n都是正整数，且m>n)。

含有未知数的等式叫做方程。使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两边都是整式的方程。解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。

二元一次方程组：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程。解法：代入消元法和加减消元法。

一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。一般形式：ax² + bx + c = 0 (a≠0)。

• 解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。
• 求根公式：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)。
• 根的判别式Δ = b² - 4ac：Δ>0，方程有两个不相等的实数根；Δ=0，方程有两个相等的实数根；Δ<0，方程没有实数根。

不等式：用符号“>”、“<”、“≥”、“≤”表示大小关系的式子。不等式的基本性质：

• 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
• 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
• 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。

一次函数：形如y = kx + b (k, b是常数，k≠0)的函数。其图象是一条直线。

• 性质：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
• 直线y=kx+b与y轴的交点坐标是(0, b)。

反比例函数：形如y = k/x (k为常数，k≠0)的函数。其图象是双曲线。

• 性质：当k>0时，双曲线的两支分别位于第
  一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当k<0时，双曲线的两支分别位于第
  二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大。

二次函数：形如y = ax² + bx + c (a, b, c是常数，a≠0)的函数。其图象是一条抛物线。

• 顶点坐标公式：(-b/(2a), (4ac-b²)/(4a))。
• 对称轴：直线 x = -b/(2a)。
• 性质：当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点。

定义：点动成线，线动成面，面动成体。经过两点有一条直线，并且只有一条直线（两点确定一条直线）。两点的所有连线中，线段最短（两点之间，线段最短）。

角：有公共端点的两条射线组成的图形。角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线。

• 余角：如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角。
• 补角：如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角。
• 对顶角：一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，则这两个角互为对顶角。对顶角相等。

相交线与平行线：

• 垂线：两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。垂线段最短。
• 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
• 平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。
• 平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

定理与性质：

• 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
• 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。
• 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
• 全等三角形的判定定理（SSS, SAS, ASA, AAS, 对于直角三角形还有HL）。
• 等腰三角形的性质：等边对等角；三线合一（顶角平分线、底边中线、底边高互相重合）。
• 等边三角形的性质：三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。
• 直角三角形的性质：两个锐角互余；斜边上的中线等于斜边的一半；勾股定理（直角三角形两直角边a, b的平方和等于斜边c的平方，即a² + b² = c²）。
• 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a, b, c满足a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形。

平行四边形：两组对边分别平行的四边形。

• 性质：对边相等；对角相等；对角线互相平分。
• 判定：两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分。

矩形：有一个角是直角的平行四边形。

• 性质：具有平行四边形的所有性质；四个角都是直角；对角线相等。

菱形：有一组邻边相等的平行四边形。

• 性质：具有平行四边形的所有性质；四条边都相等；对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

正方形：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形。它同时具有矩形和菱形的所有性质。

梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。等腰梯形：两腰相等的梯形。其性质：同一底上的两个角相等；对角线相等。

平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。

定理与性质：

• 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
• 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
• 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
• 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
• 圆内接四边形的对角互补。
• 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
• 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
• 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

公式：

• 圆的周长：C = 2πr = πd。
• 圆的面积：S = πr²。
• 弧长公式：l = (nπr)/180。
• 扇形面积公式：S = (nπr²)/360 = (1/2)lr。

轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。

中心对称：一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。

平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。

旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。

相似图形：形状相同的图形。

• 相似三角形的判定：两角分别相等；两边成比例且夹角相等；三边成比例。
• 相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例；对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。
• 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

在直角三角形中：

• 正弦：sin A = ∠A的对边 / 斜边。
• 余弦：cos A = ∠A的邻边 / 斜边。
• 正切：tan A = ∠A的对边 / ∠A的邻边。

特殊角的三角函数值：sin30°=1/2， cos30°=√3/2， tan30°=√3/3； sin45°=√2/2， cos45°=√2/2， tan45°=1； sin60°=√3/2， cos60°=1/2， tan60°=√3。

统计调查：全面调查（普查）和抽样调查。

数据的描述：

• 扇形统计图：用扇形面积表示各部分占总体的百分比。
• 条形统计图：清楚地表示出每个项目的具体数目。
• 折线统计图：清楚地反映事物的变化情况。
• 频数分布直方图：能清楚地显示各组频数分布情况。

数据的分析：

• 平均数：x̄ = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n。
• 加权平均数：x̄ = (w₁x₁ + w₂x₂ + ... + wₙxₙ) / (w₁ + w₂ + ... + wₙ)。
• 中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。
• 众数：一组数据中出现次数最多的数据。
• 方差：s² = [(x₁ - x̄)² + (x₂ - x̄)² + ... + (xₙ - x̄)²] / n，用来衡量数据的波动大小。方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。
• 标准差：方差的算术平方根。

定义：对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)。

公式与定理：

• 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A) = m/n。
• 概率的取值范围：0 ≤ P(A) ≤ 1。当A为必然事件时，P(A)=1；当A为不可能事件时，P(A)=0。
• 用列举法（列表法或画树状图法）求随机事件的概率。
• 用频率估计概率：在大量重复试验中，事件A发生的频率m/n会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。