孙子定理例题求解-孙子定理解题示例

孙子定理，又称中国剩余定理，是中国古代数学史上的一项卓越成就，最早见于南北朝时期数学著作《孙子算经》中的“物不知数”问题。其核心在于解决一组同余式方程组求解的问题，即：已知一个数除以若干两两互质的除数，分别得到不同的余数，求这个数是多少。这一定理不仅展现了古代中国数学家高超的抽象思维和解决实际问题的能力，其思想精髓更是穿越千年，在现代密码学、计算机科学、编码理论等领域发挥着不可替代的基础性作用。掌握孙子定理，意味着掌握了一把解开特定类型模运算问题的钥匙，它能够将复杂的同模数问题，转化为对一系列更简单的、模为两两互质数的子问题的求解，最后通过一个构造性的公式将解整合起来。对于广大备考易搜职考网相关数理能力测试的学员来说呢，深入理解并熟练运用孙子定理，是提升解决复杂数学问题能力、锻炼逻辑思维的重要一环。它不仅仅是一个数学公式，更是一种化整为零、系统整合的方法论，其求解过程中蕴含的步骤化、模块化思想，对于应对各类职考中的数量关系与逻辑推理题目具有极强的启发和借鉴意义。

孙子定理解决的是如下形式的同余方程组：

设 (m_1, m_2, cdots, m_k) 是两两互质的正整数（即任意两个数的最大公约数为1）。对于任意给定的整数 (a_1, a_2, cdots, a_k)，同余方程组：

[ begin{cases} x equiv a_1 pmod{m_1} \ x equiv a_2 pmod{m_2} \ vdots \ x equiv a_k pmod{m_k} end{cases} ]

在模 (M = m_1 times m_2 times cdots times m_k) 下有唯一解。该解可以通过以下构造性公式给出：

1. 计算总模数 (M = m_1 m_2 cdots m_k)。

2. 对每个 (i (1 le i le k))，计算部分模数 (M_i = frac{M}{m_i})。

3. 求每个 (M_i) 模 (m_i) 下的数论倒数（或称为模逆元），即寻找整数 (t_i) 使得 (M_i t_i equiv 1 pmod{m_i})。由于 (M_i) 与 (m_i) 互质，这样的 (t_i) 必然存在。

4. 方程组的解为 (x equiv a_1 M_1 t_1 + a_2 M_2 t_2 + cdots + a_k M_k t_k pmod{M})。

这个解 (x) 通常表示为最小非负整数解，即 (x_0 = (a_1 M_1 t_1 + cdots + a_k M_k t_k) mod M)，通解为 (x = x_0 + kM, k in mathbb{Z})。

下面，我们通过几个由浅入深的例题，结合易搜职考网对解题思路的梳理要求，来完整展示孙子定理的求解过程。

原题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？（出自《孙子算经》）

问题转化：将此文言题目转化为现代同余方程组：

[ begin{cases} x equiv 2 pmod{3} \ x equiv 3 pmod{5} \ x equiv 2 pmod{7} end{cases} ]

其中模数 (m_1=3, m_2=5, m_3=7) 两两互质。

求解步骤：

• 步骤1：计算总模数M。 (M = 3 times 5 times 7 = 105)。
• 步骤2：计算各部分模数M_i。 (M_1 = M / m_1 = 105 / 3 = 35)， (M_2 = 105 / 5 = 21)， (M_3 = 105 / 7 = 15)。
• 步骤3：求模逆元t_i。
  • 对 (M_1=35, m_1=3)：寻找 (t_1) 使 (35 t_1 equiv 1 pmod{3})。因为 (35 equiv 2 pmod{3})，即求 (2 t_1 equiv 1 pmod{3})。易得 (t_1 = 2)（因为 (2 times 2 = 4 equiv 1 pmod{3})）。
  • 对 (M_2=21, m_2=5)：(21 equiv 1 pmod{5})，所以 (1 times t_2 equiv 1 pmod{5})，显然 (t_2 = 1)。
  • 对 (M_3=15, m_3=7)：(15 equiv 1 pmod{7})，所以 (t_3 = 1)。
• 步骤4：构造解。

  [ x_0 = (a_1 M_1 t_1 + a_2 M_2 t_2 + a_3 M_3 t_3) mod M = (2 times 35 times 2 + 3 times 21 times 1 + 2 times 15 times 1) mod 105 ] [ = (140 + 63 + 30) mod 105 = 233 mod 105 = 23 ]

结论：满足条件的最小正整数是23。通解为 (x = 23 + 105k, k=0,1,2,cdots)。这个求解过程清晰地体现了孙子定理的标准化流程，是易搜职考网学员必须掌握的基础模型。

题目：解同余方程组 [ begin{cases} x equiv 1 pmod{4} \ x equiv 2 pmod{5} \ x equiv 3 pmod{7} end{cases} ]

求解步骤：

• 步骤1： (M = 4 times 5 times 7 = 140)。
• 步骤2： (M_1 = 140/4 = 35), (M_2 = 140/5 = 28), (M_3 = 140/7 = 20)。
• 步骤3：求模逆元。这一步是关键，也是易搜职考网教学强调的灵活运用点。
  • 求 (t_1) 使 (35 t_1 equiv 1 pmod{4})。(35 equiv 3 pmod{4})，即 (3 t_1 equiv 1 pmod{4})。尝试可知 (t_1 = 3)（(3 times 3 = 9 equiv 1 pmod{4})）。
  • 求 (t_2) 使 (28 t_2 equiv 1 pmod{5})。(28 equiv 3 pmod{5})，即 (3 t_2 equiv 1 pmod{5})。尝试可知 (t_2 = 2)（(3 times 2 = 6 equiv 1 pmod{5})）。
  • 求 (t_3) 使 (20 t_3 equiv 1 pmod{7})。(20 equiv 6 pmod{7})，即 (6 t_3 equiv 1 pmod{7})。尝试可知 (t_3 = 6)（(6 times 6 = 36 equiv 1 pmod{7})）。
• 步骤4：构造解。

  [ x_0 = (1 times 35 times 3 + 2 times 28 times 2 + 3 times 20 times 6) mod 140 = (105 + 112 + 360) mod 140 = 577 mod 140 ]

  计算 (577 div 140 = 4 cdots 17)，所以 (577 mod 140 = 17)。

结论：最小非负整数解为 (x_0 = 17)。当模逆元不能一眼看出时，可以通过尝试法（通常从1开始尝试）或扩展欧几里得算法精确求得。掌握多种求逆元的方法是应对更复杂题目的保障。

题目：一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1。求满足条件的最小正整数。

分析与转化：首先将文字转化为方程组： [ begin{cases} x equiv 3 pmod{5} \ x equiv 4 pmod{6} \ x equiv 1 pmod{7} end{cases} ]

注意：这里模数5, 6, 7并非两两互质（6和7互质，但5和6互质，5和7互质，然而6和5也互质？仔细检查：gcd(5,6)=1, gcd(5,7)=1, gcd(6,7)=1，实际上它们是两两互质的。6的质因子是2和3，与5和7均无交集。所以可以直接应用孙子定理。这是一个常见的理解误区，易搜职考网提醒学员务必准确判断模数的互质性。

求解步骤：

• 步骤1： (M = 5 times 6 times 7 = 210)。
• 步骤2： (M_1 = 210/5 = 42), (M_2 = 210/6 = 35), (M_3 = 210/7 = 30)。
• 步骤3：求模逆元。
  • 对 (42 t_1 equiv 1 pmod{5})：(42 equiv 2 pmod{5})，求 (2 t_1 equiv 1 pmod{5})，得 (t_1 = 3)。
  • 对 (35 t_2 equiv 1 pmod{6})：(35 equiv 5 pmod{6})，求 (5 t_2 equiv 1 pmod{6})，得 (t_2 = 5)（(5 times 5 = 25 equiv 1 pmod{6})）。
  • 对 (30 t_3 equiv 1 pmod{7})：(30 equiv 2 pmod{7})，求 (2 t_3 equiv 1 pmod{7})，得 (t_3 = 4)。
• 步骤4：构造解。

  [ x_0 = (3 times 42 times 3 + 4 times 35 times 5 + 1 times 30 times 4) mod 210 = (378 + 700 + 120) mod 210 = 1198 mod 210 ]

  计算 (1198 div 210 = 5 cdots 148)，所以 (x_0 = 148)。

验证：(148 div 5 = 29 cdots 3)；(148 div 6 = 24 cdots 4)；(148 div 7 = 21 cdots 1)。完全符合。

题目：解同余方程组 [ begin{cases} x equiv 2 pmod{4} \ x equiv 3 pmod{6} end{cases} ]

分析与转化：此时模数 (m_1=4) 和 (m_2=6) 不互质（最大公约数 (gcd(4,6)=2)）。孙子定理的直接形式不再适用。需要先将方程组进行转化，检查解的存在性条件。

将同余式写成等式：(x = 4a + 2 = 6b + 3)，即 (4a - 6b = 1)，化简为 (2a - 3b = 0.5)，左边是整数，右边不是整数，矛盾？说明这个方程组可能无解。我们需要使用一般性的存在性判定定理：方程组 (x equiv a pmod{m}, x equiv b pmod{n}) 有解的充要条件是 (a equiv b pmod{gcd(m, n)})。

在此题中，(gcd(4,6)=2)，检查 (a=2) 和 (b=3)：(2 equiv 3 pmod{2}) 吗？(2 mod 2 = 0), (3 mod 2 = 1)，(0 notequiv 1 pmod{2})。所以该方程组无解。

若题目改为： [ begin{cases} x equiv 2 pmod{4} \ x equiv 0 pmod{6} end{cases} ]

则检查：(gcd(4,6)=2)，(2 equiv 0 pmod{2}) 成立（因为 (2 mod 2 = 0), (0 mod 2 = 0)）。故有解。求解时需先将模数分解质因子，或利用如下方法：

由第一个方程，(x = 4k + 2)。代入第二个方程：(4k + 2 equiv 0 pmod{6}) => (4k equiv -2 equiv 4 pmod{6})。两边约去2（注意模6也需约分，但需考虑同余式的性质，约去后模变为 (6/gcd(4,6,2)=6/2=3)）：得到 (2k equiv 2 pmod{3})，即 (k equiv 1 pmod{3})。所以 (k = 3t + 1)。代回：(x = 4(3t+1) + 2 = 12t + 6)。所以解为 (x equiv 6 pmod{12})。这里12是4和6的最小公倍数。易搜职考网提示，对于模数不互质的情况，核心是先判定解的存在性，再将方程组化简为等价的、模数为原模数最小公倍数的、可能需分拆的互质模数方程组。

通过以上例题，我们可以系统地归结起来说出应用孙子定理的解题策略，这些策略对于在易搜职考网平台进行系统性备考的学员至关重要：

• 第一步：标准化方程组。确保方程形式为 (x equiv a_i pmod{m_i})。如果余数大于等于模数，应先化简余数。
• 第二步：判定模数互质性。检查所有模数 (m_1, m_2, ..., m_k) 是否两两互质（最大公约数为1）。
  • 若互质，直接进入孙子定理标准流程。
  • 若不互质，则需先判断解的存在性（对于每个不互质的模数对，检查相应的余数是否模它们的最大公约数同余）。若存在，则需通过合并方程或分解质因数的方式，将原方程组转化为一个模数为原模数最小公倍数的新同余方程，或转化为一组模数互质的新方程组。
• 第三步：执行孙子定理求解流程。牢记“求总积M -> 算各部分M_i -> 找模逆元t_i -> 线性合成得解”的四步法。
• 第四步：求出特解与通解。计算最小非负整数解 (x_0)，并写出通解形式 (x = x_0 + tM)。根据题目要求（如“求最小的三位数”、“求1000以内的所有解”等）筛选最终答案。
• 第五步：验证。将得到的解代入原方程组进行验算，确保无误。这是一个良好的学习习惯，能有效避免计算错误。

在更高级的应用中，例如解决某些循环周期汇合问题、计算公倍数相关的最值问题等，孙子定理都提供了清晰的数学模型。
例如，“一堆苹果平均分给几人剩几个，另分又剩几个”这类问题，本质上就是孙子定理的应用。易搜职考网在相关课程中，会引导学员将具体的应用问题抽象为同余方程组，从而利用该定理高效求解。

总来说呢之，孙子定理是中国古代数学智慧的精粹，其求解过程体现了构造性数学的美感与实用性。对于学习者来说呢，透彻理解其原理，并通过足量练习掌握其在不同场景下的应用技巧，尤其是模逆元的求解和模数不互质情况的处理，是攻克相关考试难题的关键。在备考路上，将这种系统化的解题思维融入日常训练，能够显著提升数学素养和应试能力，从而在面对各类职考挑战时更加从容自信。